Descubre la fracción generatriz en la aritmética de números racionales
En el ámbito de la matemática, la aritmética es una de las ramas más fundamentales, y dentro de ella, los números racionales y las fracciones generatrices son conceptos cruciales para entender su aplicación en la vida cotidiana.
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción, es decir, como una división de dos números enteros. Por ejemplo, 2/3 es un número racional, ya que se puede expresar como la división de 2 entre 3.
Por otro lado, las fracciones generatrices son una forma de representar los números racionales de una manera más compacta y sencilla. Se trata de una fracción en la que el numerador es siempre 1 y el denominador es un número entero seguido de una cantidad infinita de cifras que se repiten en el mismo orden. Por ejemplo, la fracción generatriz del número 2/3 es 0.666…, ya que el 6 se repite infinitamente.
La aritmética de los números racionales y las fracciones generatrices es esencial en campos como la ingeniería, la física y la economía. Además, su comprensión es importante para la vida cotidiana, ya que se utilizan en situaciones tan comunes como calcular la proporción de ingredientes en una receta de cocina o el porcentaje de descuento en una oferta de compras.
¿Cómo obtener fracción generatriz de un racional?
Para obtener la fracción generatriz de un número racional, primero debemos entender qué es una fracción generatriz. Una fracción generatriz es una fracción decimal que se repite indefinidamente.
Por ejemplo, si tenemos el número racional 0.666666…, la fracción generatriz correspondiente sería 2/3, ya que 0.666666… se puede expresar como una fracción cuyo numerador es 6 y cuyo denominador es 9 (ya que hay un 6 que se repite).
Para obtener la fracción generatriz de un número racional, debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Escribir el número racional en forma de fracción.
Paso 2: Multiplicar tanto el numerador como el denominador por 10 elevado al número de decimales que se repiten.
Paso 3: Restar la fracción obtenida en el paso 1 de la fracción obtenida en el paso 2.
Paso 4: Simplificar la fracción obtenida en el paso 3.
El resultado obtenido en el paso 4 será la fracción generatriz del número racional.
Veamos un ejemplo:
Para obtener la fracción generatriz de 0.272727…, primero escribimos este número en forma de fracción:
0.272727… = 27/99
Luego, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 10 elevado al número de decimales que se repiten (en este caso, 2):
0.272727… x 100 = 27.272727…
27/99 x 100 = 2700/99
Ahora, restamos la fracción obtenida en el paso 1 de la fracción obtenida en el paso 2:
2700/99 – 27/99 = 2673/99
Finalmente, simplificamos la fracción obtenida:
2673/99 = 303/11
Por lo tanto, la fracción generatriz de 0.272727… es 303/11.
¿Qué es fracción generatriz? Ejemplos.
La fracción generatriz es una forma de representar un número racional en forma de fracción. Esta fracción tiene un numerador entero y un denominador que es un número entero más una fracción decimal periódica.
Un ejemplo de fracción generatriz es:
1.3 =
3/10 + 1
En este ejemplo, el número racional 1.3 se puede representar como una fracción generatriz, donde el numerador es 13 y el denominador es 10 + 0.3 (la parte decimal periódica de 1.3).
Otro ejemplo de fracción generatriz es:
0.777… =
7/9
En este ejemplo, el número racional 0.777… (una fracción decimal periódica) se puede representar como una fracción generatriz, donde el numerador es 7 y el denominador es 9 (el mismo número de nueves que hay en la parte decimal periódica).
¿Cómo calcular fracción generatriz?
Para calcular la fracción generatriz de un número decimal, se deben seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Identificar la parte decimal del número y escribirla como fracción sobre una potencia de 10.
Paso 2: Simplificar la fracción obtenida en el paso anterior.
Paso 3: Si la fracción obtenida en el paso 2 no está en su forma irreducible, simplificarla.
Paso 4: Escribir la fracción simplificada en su forma mixta, si es necesario.
Es importante tener en cuenta que, para números decimales periódicos, es decir, aquellos que tienen una secuencia de dígitos que se repiten infinitamente, el proceso para obtener la fracción generatriz puede ser más complejo.
¿Cómo convertir decimales a fracciones generatrices?
Para convertir decimales a fracciones generatrices, primero debemos entender qué es una fracción generatriz. Una fracción generatriz es una fracción que representa un número decimal periódico, es decir, un número con una secuencia de dígitos que se repite infinitamente.
Para convertir un decimal periódico puro (un decimal que se repite desde el primer dígito) en una fracción generatriz, se debe seguir el siguiente procedimiento:
1. Se coloca el número decimal periódico puro como numerador.
2. El denominador es igual a 9 si el número de dígitos que se repiten es uno, 99 si son dos, 999 si son tres, y así sucesivamente, dependiendo del número de dígitos que se repitan.
Por ejemplo, para convertir el decimal periódico puro 0.6666… en fracción generatriz, se sigue el siguiente procedimiento:
1. Se coloca el número decimal periódico puro como numerador: 6666
2. El denominador es igual a 9 porque solo se repite un dígito: 9
Por lo tanto, la fracción generatriz que representa el decimal 0.6666… es 6666/9, que se puede simplificar a 2222/3.
En el caso de los decimales periódicos mixtos (un decimal que tiene una parte no periódica y otra periódica), se sigue el siguiente procedimiento:
1. Se coloca la parte no periódica y la parte periódica como numerador.
2. El denominador es igual a 9 si el número de dígitos que se repiten es uno, 99 si son dos, 999 si son tres, y así sucesivamente, dependiendo del número de dígitos que se repitan.
3. Se resta el número obtenido en el paso 1 del número obtenido en el paso 2.
Por ejemplo, para convertir el decimal periódico mixto 2.1666… en fracción generatriz, se sigue el siguiente procedimiento:
1. Se coloca la parte no periódica y la parte periódica como numerador: 21666 – 216 = 21450
2. El denominador es igual a 9 porque solo se repite un dígito: 9
3. Se resta el número obtenido en el paso 1 del número obtenido en el paso 2: 21450 – 216 = 21234
Por lo tanto, la fracción generatriz que representa el decimal 2.1666… es 21234/9, que se puede simplificar a 2359/3.
¡Y eso es todo! Espero que este post te haya ayudado a entender mejor el mundo de la aritmética, los números racionales y las fracciones generatrices. Recuerda que las matemáticas son una herramienta fundamental en nuestro día a día, y que entenderlas puede hacer la diferencia en muchas situaciones. Si tienes alguna duda o comentario, no dudes en dejarlo en la sección de abajo. ¡Nos vemos en la próxima!
