Ejercicios resueltos de integración por partes: Aprende cálculo de forma práctica
Si eres estudiante de matemáticas o simplemente te interesa aprender más sobre cálculo y sus aplicaciones, este artículo es para ti. En esta ocasión, te presentamos una serie de ejercicios resueltos de integración por partes, una técnica fundamental en el cálculo integral.
¿Qué es la integración por partes?
La integración por partes es una técnica de cálculo integral que nos permite integrar productos de funciones. Esta técnica se basa en la siguiente fórmula:
∫u dv = uv – ∫v du
Donde u y v son funciones que elegimos y dv y du son sus respectivas derivadas.
Ejercicios resueltos
A continuación, presentamos una serie de ejercicios resueltos de integración por partes. En cada ejercicio, se muestra paso a paso cómo aplicar la fórmula y cómo simplificar la integral hasta obtener la solución final.
Ejercicio 1:
Calcular la integral ∫x ln(x) dx.
Solución:
Para este ejercicio, elegimos:
u = ln(x) dv = x dx
du = 1/x dx v = (1/2) x^2
Sustituyendo en la fórmula, tenemos:
∫x ln(x) dx = (1/2) x^2 ln(x) – ∫(1/2) x^2 (1/x) dx
Simplificando, obtenemos:
∫x ln(x) dx = (1/2) x^2 ln(x) – (1/4) x^2 + C
Donde C es la constante de integración.
Ejercicio 2:
Calcular la integral ∫e^x sin(x) dx.
Solución:
Para este ejercicio, elegimos:
u = sin(x) dv = e^x dx
du = cos(x) dx v = e^x
Sustituyendo en la fórmula, tenemos:
∫e^x sin(x) dx = e^x sin(x) – ∫e^x cos(x) dx
Simplificando, obtenemos:
∫e^x sin(x) dx = (1/2) e^x (sin(x) – cos(x)) + C
Donde C es la constante de integración.
Conclusión
La integración por partes es una técnica poderosa en el cálculo integral y es esencial para resolver una variedad de problemas. Esperamos que estos ejercicios resueltos te hayan ayudado a comprender mejor cómo aplicar esta técnica en la práctica. ¡Sigue practicando para mejorar tus habilidades en el cálculo!
¿Cómo hacer la integral por partes?
Para hacer la integral por partes, debes seguir los siguientes pasos:
Paso 1:
Identifica la función que se va a integrar y descompónla en dos funciones. Una de las funciones será la u y la otra será dv. Elige u de tal manera que la derivada de u sea más fácil de integrar que la función original.
Paso 2:
Deriva u para obtener du. Luego, integra dv para obtener v.
Paso 3:
Usando la fórmula de integración por partes:
∫ u dv = u*v – ∫ v du
reemplaza los valores de u, v, du y dv en la fórmula.
Paso 4:
Resuelve la integral resultante. Si es una integral definida, asegúrate de evaluarla en los límites de integración.
Recuerda que la elección de u y dv es muy importante para hacer la integral por partes de manera efectiva. Es posible que tengas que hacer más de una iteración para obtener la solución final.
¿Cómo integrar una multiplicación?
Para integrar una multiplicación, lo primero que debemos hacer es identificar si se trata de una multiplicación simple o una multiplicación compleja.
En el caso de una multiplicación simple, es decir, dos términos multiplicados entre sí, podemos utilizar la propiedad distributiva de la integral:
∫(u * v) dx = u * ∫v dx + v * ∫u dx
donde u y v son las funciones que se están multiplicando.
Por ejemplo, si queremos integrar la función f(x) = x * cos(x), podemos tomar u = x y v = cos(x), de manera que:
∫(x * cos(x)) dx = x * ∫cos(x) dx + ∫(cos(x) * dx) dx
Integrando cada término, obtenemos:
∫(x * cos(x)) dx = x * sin(x) + cos(x) + C
donde C es la constante de integración.
En el caso de una multiplicación compleja, es decir, tres o más términos multiplicados entre sí, podemos utilizar la técnica de integración por partes. Esta técnica consiste en elegir dos de las funciones que se están multiplicando para integrar uno de ellos y derivar el otro, de manera que se vayan intercambiando los términos hasta obtener una integral más sencilla.
Por ejemplo, si queremos integrar la función f(x) = x * e^(2x) * cos(x), podemos tomar u = x y v = e^(2x) * cos(x), de manera que:
∫(x * e^(2x) * cos(x)) dx = x * ∫(e^(2x) * cos(x)) dx – ∫[(d/dx(x)) * ∫(e^(2x) * cos(x)) dx] dx
Integrando cada término y aplicando la técnica de integración por partes nuevamente, obtenemos:
∫(x * e^(2x) * cos(x)) dx = (1/5) * e^(2x) * [2 * cos(x) + sin(x)] – (1/5) * x * e^(2x) * sin(x) + (2/5) * ∫(e^(2x) * sin(x)) dx + C
donde C es la constante de integración.
¡Listo! Espero que este post te haya resultado de gran ayuda para comprender mejor el tema de cálculo e integración por partes. Si tienes alguna duda o sugerencia, no dudes en dejar un comentario. ¡Estoy aquí para ayudarte en todo lo que necesites! No te olvides de practicar con los ejercicios resueltos que te proporcioné y de seguir aprendiendo para mejorar tus habilidades en esta área. ¡Hasta la próxima!